Teorema de los ceros de Hilbert


El Hilberts Nullstellensatz (en alemán: "teorema de los lugares de los ceros de Hilbert") es un teorema en Geometría algebraica que relaciona variedades e ideales en anillos de polinomios sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Fue probado inicialmente por David Hilbert.

Sea \({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} }\) un cuerpo algebraicamente cerrado (como el de los números complejos), considera el anillo de polinomios \({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} [X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}\) y sea \({\displaystyle \scriptstyle I}\) un ideal en este anillo. La variedad afín \({\displaystyle \scriptstyle V(I)}\) definida por este ideal consiste de todas las n-tuplas \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}\) en \({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} ^{n}}\) tal que \({\displaystyle \scriptstyle f(\mathbf {x} )=0}\) para todo \({\displaystyle \scriptstyle f}\) en \({\displaystyle \scriptstyle I}\). El teorema de los ceros de Hilbert nos dice que si \({\displaystyle \scriptstyle p}\) es un polinomio en \({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} [X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}\) que se anula en la variedad \({\displaystyle \scriptstyle V(I)}\), i.e. \({\displaystyle \scriptstyle p(\mathbf {x} )=0}\) para todo x en \({\displaystyle \scriptstyle V(I)}\), entonces existe un número natural r tal que pr está en I.

Un corolario inmediato es la "Nullstellensatz débil": si I es un ideal propio en K[X1,X2,... , Xn], entonces V(I) no puede ser vacío, i.e. existe un cero común para todos los polinomios del ideal. Esta es la razón para el nombre del teorema; que es fácilmente demostrable en esta forma "débil". Notar que el asumir que K sea algebraicamente cerrado es esencial aquí: el ideal propio (X² + 1) en R[X] no tiene un cero común.

Con la notación común de la geometría algebraica, el Nullstellensatz puede ser también formulado como

I(V(J)) = \({\displaystyle {\sqrt {J}}}\)    para todo ideal J

Aquí, \({\displaystyle {\sqrt {J}}}\) denota el radical de J e I(U) denota el ideal de todos los polinomios que se anulan en el conjunto U. De este modo, obtenemos una correspondencia biyectiva que revierte el orden entre las variedades afines en Kn y los ideales radicales de K[X1,X2,... , Xn].










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