Sistema duodecimal


El sistema duodecimal es un sistema de numeración de base-doce, también llamado docenal. Esto significa cada conjunto de 12 unidades de un nivel generan una unidad del siguiente nivel superior. Doce elementos forman una docena; 12 docenas, una gruesa; 12 gruesas, una unidad de cuarto nivel. De modo que 3457D es igual a 3 docenas de gruesas, 4 gruesas, 5 docenas y 7 unidades. Las cifras básicas son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B; todas ellas son menores que la base doce = 10 = 1 docena + 0 unidades. (A = 10; B = 11 de la base 10).

Existen sociedades en Gran Bretaña y en los EE. UU. que promocionan el uso de la base-doce, argumentando lo siguiente:

En Gran Canaria (Islas Canarias),[1]​ como seguramente en el resto del mundo ya que al parecer los sumerios usaban este mismo método, entre las personas del campo se utiliza la base doce por ser una base humana. Contados con una mano usando el pulgar a modo de puntero, las falanges de los restantes cuatro dedos sale la cuenta de doce, una docena, 3 falanges por 4 dedos. Usando la otra mano de multiplicador 12 x 5 = 60. O sea, con las dos manos podían contar hasta sesenta, o sus cinco docenas, las manos utilizados como ábaco. De ahí que sean doce los meses, apóstoles, las horas del día, signos del zodiaco, etcétera. Y lo que más importante de ahí el sistema sexagesimal (base 60), y también la división de la hora en sesenta minutos y estos en sesenta segundos.

Índice

Fracciones y números irracionales


En cualquier sistema de numeración posicional de base racional (como el decimal y el duodecimal), todas aquellas fracciones irreducibles cuyo denominador contenga factores primos distintos de los que factorizan la base, carecerán de representación finita, obteniéndose para ellas una serie infinita de dígitos de valor fraccionario (comúnmente llamados "decimales", si bien resulta absurdo emplear este término para bases distintas de la decimal). Además, esta serie infinita de dígitos presentará un período de recurrencia, dándose recurrencia pura cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta (aquella en la que hay dígitos fraccionarios al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base. Así pues, en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3; mientras que en base decimal se da esto cuando son distintos de 2 y 5:


Base decimal
Factores primos de la base: 2, 5
Base duodecimal / docenal
Factores primos de la base: 2, 3
Fracción Factores primos
del denominador
Representación posicional Representación posicional Factores primos
del denominador
Fracción
1/2 2 0,5 0,6 2 1/2
1/3 3 0,33333333... 0,4 3 1/3
1/4 2 0,25 0,3 2 1/4
1/5 5 0,2 0,249724972497... 5 1/5
1/6 2, 3 0,166666666... 0,2 2, 3 1/6
1/7 7 0,142857142857142857... 0,186A35186A35186A35... 7 1/7
1/8 2 0,125 0,16 2 1/8
1/9 3 0,11111111... 0,14 3 1/9
1/10 2, 5 0,1 0,1249724972497... 2, 5 1/A
1/11 11 0,0909090909... 0,11111111... B 1/B
1/12 2, 3 0,0833333333... 0,1 2, 3 1/10
1/13 13 0,076923076923076923... 0,0B0B0B0B0B... 11 1/11
1/14 2, 7 0,0714285714285714285... 0,0A35186A35186A35186... 2, 7 1/12
1/15 3, 5 0,066666666... 0,0972497249724... 3, 5 1/13
1/16 2 0,0625 0,09 2 1/14
1/17 17 0,05882352941176470588235294117647... 0,08579214B36429A708579214B36429A7... 15 1/15
1/18 2, 3 0,055555555... 0,08 2, 3 1/16
1/19 19 0,052631578947368421052631578947368421... 0,076B45076B45076B45... 17 1/17
1/20 2, 5 0,05 0,0724972497249... 2, 5 1/18
1/21 3, 7 0,047619047619047619... 0,06A35186A35186A3518... 3, 7 1/19
1/22 2, 11 0,04545454545... 0,066666666... 2, B 1/1A
1/23 23 0,0434782608695652173913043478260869565... 0,0631694842106316948421... 1B 1/1B
1/24 2, 3 0,04166666666... 0,06 2, 3 1/20
1/25 5 0,04 0,05915343A0B605915343A0B6... 5 1/21
1/26 2, 13 0,0384615384615384615... 0,056565656565... 2, 11 1/22
1/27 3 0,037037037037... 0,054 3 1/23
1/28 2, 7 0,03571428571428571428... 0,05186A35186A35186A3... 2, 7 1/24
1/29 29 0,03448275862068965517241379310344827586... 0,04B704B704B7... 25 1/25
1/30 2, 3, 5 0,033333333... 0,0497249724972... 2, 3, 5 1/26
1/31 31 0,032258064516129032258064516129... 0,0478AA093598166B74311B28623A550478AA... 27 1/27
1/32 2 0,03125 0,046 2 1/28
1/33 3, 11 0,0303030303... 0,044444444... 3, B 1/29
1/34 2, 17 0,029411764705882352941176470588235... 0,0429A708579214B36429A708579214B36... 2, 15 1/2A
1/35 5, 7 0,0285714285714285714... 0,0414559B39310414559B3931... 5, 7 1/2B
1/36 2, 3 0,0277777777... 0,04 2, 3 1/30


Por otra parte, en cualquier sistema de numeración posicional de base racional, todo número irracional no solo carece de representación finita, sino que además su serie infinita de dígitos carece de periodo de recurrencia. A continuación se ofrecen los primeros dígitos de la representación en base duodecimal de varios de los números irracionales más importantes:


Número irracional En base decimal En base duodecimal
π (pi, la proporción entre circunferencia y diámetro) 3,141592653589793238462643... (~ 3,1416) 3,184809493B918664573A6211... (~ 3,1848)
e (la base del logaritmo natural o neperiano) 2,718281828459... (~ 2,718) 2,875236069821... (~ 2,875)
φ (fi, el número de oro o razón dorada) 1,618033988749... (~ 1,618) 1,74BB67728022... (~ 1,75)
√2 (la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario) 1,414213562373... (~ 1,414) 1,4B79170A07B7... (~ 1,4B8)
√3 (la longitud de la diagonal de un cubo unitario, o el doble de la altura de un triángulo equilátero) 1,732050807568... (~ 1,732) 1,894B97BB967B... (~ 1,895)
√5 (la longitud de la diagonal de un rectángulo 1×2) 2,236067977499... (~ 2,236) 2,29BB13254051... (~ 2,2A)


Los primeros dígitos en base duodecimal de otro número destacable, la constante de Euler-Mascheroni, pero de la que por el momento se desconoce si es racional o irracional:


Número En base decimal En base duodecimal
γ (la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural) 0,577215664901... (~ 0,577) 0,6B15188A6758... (~ 0,7)

Tabla de multiplicar


× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100

Búsqueda de números primos


En base 12, un número primo solo puede acabar en 1, 5, 7 o B (con las únicas excepciones de los números primos 2 y 3). Las ocho posibilidades restantes generan siempre números compuestos:

Detección de múltiplos
Naturales primos en notaciones decimal y duodecimal

A continuación se lista la serie de números primos (hasta aquellos de menos tres dígitos) en base duodecimal:

En base duodecimal 2 3 5 7 B 11 15 17 1B 25 27 31 35 37 3B 45 4B 51 57 5B 61 67 6B 75 81 85 87 8B 91 95 A7 AB B5 B7 ...
En base decimal 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 ...

Véase también


Referencias


  1. González Rodríguez, J.M. (1997). Pesos y Medidas tradicionales en el campo Canario. Situación en la actualidad, en Canarias Agraria y Pesquera. 
  2. Fomin: Sistemas de numeración
  3. N.N. Vorobiov: Criterios de divisibilidad Editorial Mir, Moscú / 1984









Categorías: Sistemas de numeración posicional




A partir de: 07.05.2021 09:18:31 CEST

Fuente: Wikipedia (Autores [Historia])    Licencia: CC-BY-SA-3.0

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