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Polinomios ortogonales


Los polinomios ortogonales son conjuntos de polinomios que forman una base ortogonal de cierto espacio de Hilbert. Los polinomios ortogonales son importantes porque aparecen en la teoría de ecuaciones diferenciales, muy especialmente en la teoría de Sturm-Liouville, la teoría de espacios de Hilbert, la teoría de la aproximación de funciones y la mecánica cuántica.

Índice

Espacios de Hilbert \({\displaystyle L_{w}^{2}(\mathbb {R} )}\)


La mayoría de las familias \({\displaystyle {\mathcal {F}}}\) de polinomios ortogonales más usados son bases ortogonales de un espacio de Hilbert \({\displaystyle L_{w}^{2}(I)}\) de funciones de cuadrado integrable respecto al producto escalar con función de ponderación \({\displaystyle w(x)\,}\). Es decir:

\({\displaystyle \langle p_{m},p_{n}\rangle _{\mathcal {F}}=\int _{I\subset \mathbb {R} }p_{m}^{*}(x)p_{n}(x)w(x)\ dx=N_{m}\delta _{mn}}\)

Donde:

\({\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {F}}}\) es el producto escalar del espacio \({\displaystyle L_{w}^{2}(I)}\).
\({\displaystyle N_{m}\,}\) es un factor de normalización que vale 1 si la familia de polinomios es además ortonormal.
\({\displaystyle \delta _{mn}\,}\) es el delta de Kronecker.

Además estos polinomios suelen ser los vectores propios de un operador diferencial lineal autoadjunto de segundo orden u operador Sturm-Liouville de la forma:

\({\displaystyle {\mathcal {L}}(y)={\frac {1}{w}}\left[-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right]}\)

Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial:[1]

\({\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0,\qquad y(x)=P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(1-x^{2})^{n},\qquad \{w=1,I=[-1,1]\}}\)

Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial:[2]

\({\displaystyle y''-2xy'+2ny=0,\qquad y(x)=H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}},\qquad \{w=e^{-x^{2}},I=\mathbb {R} \}}\)

Polinomios de Laguerre

\({\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\qquad y(x)=L_{n}(x)=e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x}),\qquad \{w=e^{-x},I=[0,\infty )\}}\)

\({\displaystyle xy''-(m+1-x)y'+(n-m)y=0,\qquad y(x)=L_{n}^{m}(x)={\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\right),\qquad \{w=x^{m}e^{-x},I=[0,\infty )\}}\)

Polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev son soluciones de la ecuación diferencial:[5]

\({\displaystyle (1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0,\qquad y(x)=T_{n}(x)=\cos(n\arccos x),\qquad \{w={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},I=[-1,1]\}}\)

Los \({\displaystyle T_{n}(x)}\) se denominan polinomios de Chebyshev de primer tipo, además los polinomios de Chebyshev de segundo tipo \({\displaystyle U_{n}(x)}\) que vienen dados por:

\({\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }},\qquad U_{n}(x)={\frac {\sin[(n+1)\arccos x]}{\sin(\arccos x)}},\qquad \{w={\sqrt {1-x^{2}}},I=[-1,1]\}}\)

Polinomios de Jacobi

Los polinomios de Jacobi son series de polinomios ortogonales \({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,beta)}}\) respecto a la función peso \({\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}\) en el intervalo [-1,+1] satisfacen la ecuación diferencial:

\({\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0}\)

Muchos polinomios ortogonales son casos particulares de Jacobi:

Mecánica cuántica


En mecánica cuántica son de uso común las siguientes familias de polinomios ortogonales:

Referencia


  1. Spiegel et al., 1992, pp. 156-57
  2. Spiegel et al., 1992, pp. 158-59
  3. Spiegel et al., 1992, pp. 160-1
  4. Spiegel et al., 1992, pp. 162-3
  5. Spiegel et al., 1992, pp. 164-5

Bibliografía










Categorías: Polinomios ortogonales




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