Polinomios de Jacobi - es.LinkFang.org

Polinomios de Jacobi


En matemáticas, los polinomios de Jacobi (ocasionalmente llamados polinomios hipergeométricos) P(α, β)
n
(x)
son una clase de polinomios ortogonales clásicos. Son ortogonales con respecto al peso (1 − x)α(1 + x)β en el intervalo [−1, 1]. Los polinomios de Gegenbauer, y por lo tanto también los de Legendre, de Zernike y de Chebyshev, son casos especiales de los polinomios de Jacobi.[1]

Los polinomios de Jacobi fueron introducidos por el matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851).

Índice

Definiciones


A través de la función hipergeométrica

Los polinomios de Jacobi se definen a través de la función hipergeométrica de la siguiente manera:[2]

\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),}\)

donde \({\displaystyle (\alpha +1)_{n}}\) es un símbolo de Pochhammer (para el factorial ascendente). En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo tanto, se obtiene la siguiente expresión equivalente:

\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}\)

La fórmula de Rodrigues

La fórmula de Rodrigues da una definición equivalente:[1][3]

\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.}\)

Si \({\displaystyle \alpha =\beta =0}\), entonces se reduce a los polinomios de Legendre:

\({\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.}\)

Expresión alternativa para el argumento real

Para x real, el polinomio de Jacobi puede escribirse alternativamente como

\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}.}\)

y para un número entero n

\({\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}}\)

donde Γ(z) es la Función gamma.

En el caso especial de que las cuatro cantidades n, n + α, n + β y n + α + β son enteros no negativos, el polinomio de Jacobi se puede escribir como


\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}\)

 

 

 

 

(1)

La suma se extiende sobre todos los valores enteros de s para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos.

Propiedades básicas


Ortogonalidad

Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad

\({\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.}\)

Como se define, no tienen una norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando \({\displaystyle n=m}\).

Aunque no proporciona una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:

\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}\)

Relación de simetría

Los polinomios tienen la relación de simetría

\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}\)

por lo tanto, el otro valor terminal es

\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}\)

Derivadas

La k-ésima derivada de la expresión explícita conduce a

\({\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}\)

Ecuación diferencial

El polinomio de Jacobi P(α, β)
n
es una solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden[1]

\({\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.}\)

Relaciones de recurrencia

La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de α, β fija es:[1]

\({\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}}\)

para n = 2, 3, ....

Dado que los polinomios de Jacobi se pueden describir en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recidivas equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades

\({\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}\)

Función de generación

La función generadora de los polinomios de Jacobi está dada por

\({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },}\)

de donde

\({\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,}\)

y la rama de la raíz cuadrada se elige para que R (z, 0) = 1.[1]

Polinomios de Jacobi asintóticos


Para x en el interior de [−1, 1], el término asintótico de P(α, β)
n
para n grande viene dado por la fórmula de Darboux[1]

\({\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),}\)

donde

\({\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\end{aligned}}}\)

y el término "O" es uniforme en el intervalo [ε, π-ε] para cada ε > 0.

Los polinomios asintóticos de Jacobi cerca de los puntos ±1 vienen dados por la formula de Mehler-Heine

\({\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}}\)

donde los límites son uniformes para z en un dominio delimitado.

Los polinomios asintóticos fuera de [−1, 1] son menos explícitos.

Aplicaciones


Matriz D de Wigner

La expresión (1) permite la expresión de la matriz D de Wigner djm’,m(φ) (para 0 ≤ φ ≤ 4Plantilla:Pi) en términos de polinomios de Jacobi:[4]

\({\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}\)

Véase también


Referencias


  1. a b c d e f Szegő, Gábor (1939). «IV. Jacobi polynomials.» . Orthogonal Polynomials. Colloquium Publications XXIII. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1. MR 0372517 .  La definición figura en IV.1; la ecuación diferencial en IV.2; la fórmula de Rodrigues formula aparece en IV.3; la función generadora IV.4; y la relación recurrente está en IV.5.
  2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 561. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  3. P.K. Suetin (2001) [1994], "Jacobi_polynomials", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  4. Biedenharn, L.C.; Louck, J.D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics. Reading: Addison-Wesley. 

Lecturas relacionadas


Enlaces externos











Categorías: Polinomios ortogonales




A partir de: 04.12.2020 02:23:53 CET

Fuente: Wikipedia (Autores [Historia])    Licencia: CC-by-sa-3.0

Modificaciónes: Se eliminaron todas las imágenes y la mayoría de los elementos de diseño relacionados con ellos. Algunos iconos fueron reemplazados por FontAwesome-Icons. Algunas plantillas se eliminaron (como "el artículo necesita expansión) o se asignaron (como" notas de sombrero "). Las clases CSS fueron eliminadas o armonizadas.
Se eliminaron los enlaces específicos de Wikipedia que no conducen a un artículo o categoría (como "Enlaces rojos", "enlaces a la página de edición", "enlaces a portales"). Cada enlace externo tiene un FontAwesome-Icon adicional. Además de algunos pequeños cambios de diseño, se eliminaron los contenedores de medios, mapas, cuadros de navegación, versiones habladas y Geo-microformatos.

Tenga en cuenta: Debido a que el contenido dado se toma automáticamente de Wikipedia en el momento dado, una verificación manual fue y no es posible. Por lo tanto, LinkFang.org no garantiza la precisión y la actualidad del contenido adquirido. Si hay una información que es incorrecta en este momento o tiene una pantalla incorrecta, no dude en Contáctenos: e-mail.
Ver también: Información legal & Política de privacidad.