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Polinomios de Hermite


Los polinomios de Hermite son un ejemplo de polinomios ortogonales que encuentran su principal ámbito de aplicaciones en mecánica cuántica, sobre todo en el estudio del oscilador armónico unidimensional. Son nombrados así en honor de Charles Hermite.

Índice

Definición


Los polinomios de Hermite se definen como:

\({\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}\)

(los "polinomios de Hermite probabilísticos") o, a veces, como (los "polinomios de Hermite físicos"):

\({\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}\)

Estas dos definiciones no son exactamente equivalentes; una es un reescalado trivial de la otra:

\({\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x)\,\!}\).

Los polinomios físicos pueden expresarse como:

\({\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1!}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}}(2x)^{n-4}-\dots }\)

Propiedades


Ortogonalidad

\({\displaystyle \displaystyle {H_{n}}}\) es un polinomio de grado n, con n = 0, 1, 2, 3, .... Estos polinomios son ortogonales con respecto de la función peso (medida)

\({\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}\) (probabilista)

o

\({\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!}\) (física)

es decir

\({\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx}\)

\({\displaystyle =n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}\) (probabilista)

o

\({\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={n!2^{n}}{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}\) (física)

donde δij es la delta de Kronecker, que vale la unidad cuando n = m y cero en otro caso. Los polinomios probabilísticos son ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal.

Función generadora

\({\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)t^{n}}{n!}}}\)

Fórmulas de recurrencia

Los polinomios de Hermite (en su forma "física") satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:

\({\displaystyle H_{n+1}^{\mathrm {phys} }(x)=2xH_{n}^{\mathrm {phys} }(x)-2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}\)

\({\displaystyle {H'}_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}\)

Descomposición en serie de funciones

Toda función f continua puede expresarse como serie infinita en términos de polinomios de Hermite:

\({\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)=A_{0}H_{0}(x)+A_{1}H_{1}(x)+A_{2}H_{2}(x)+\ldots }\)

Donde las constantes de la anterior serie vienene dados por:

\({\displaystyle A_{k}={\frac {1}{2^{k}k!{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)H_{k}(x)\ dx}\)

Otros resultados

\({\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\,}\)
\({\displaystyle H_{2n-1}(0)=0\,}\)
\({\displaystyle H_{2n}^{\mathrm {phys} }(0)=(-1)^{n}2^{n}(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))}\)

Ecuación diferencial de Hermite


Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial de Hermite:[1]

\({\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+2ny=0}\)

que en forma canónica puede escribirse como:

\({\displaystyle {\frac {1}{e^{-x^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left(e^{-x^{2}}{\frac {dy}{dx}}\right)+2ny=0}\)

Referencia


  1. Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.









Categorías: Polinomios ortogonales




A partir de: 02.12.2020 07:33:00 CET

Fuente: Wikipedia (Autores [Historia])    Licencia: CC-by-sa-3.0

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