Polígono convexo


Un polígono convexo es un polígono en el que cada uno de los ángulos interiores miden a lo sumo 180 grados o \({\displaystyle \pi }\) radianes. Un polígono es estrictamente convexo si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina polígono cóncavo.

Índice

Definición


Un polígono es convexo si al prolongar cualquiera de sus lados queda completamente en uno de los semiplanos que determina tal recta.[1]

Los polígonos convexos tienen una amplia gama de propiedades que los hacen especialmente útiles en la resolución de problemas de geometría, geometría computacional e informática gráfica.

Todos los triángulos son polígonos convexos. Todos los polígonos regulares son convexos, salvo los polígonos estrellados regulares. Un polígono simple puede ser convexo o cóncavo, excepto un triángulo que no puede ser cóncavo. Dos puntos distintos A y B determinan un lado de un triángulo ( y una recta) el tercer punto C queda en uno de los semiplanos determinado por la recta AB y por ello todo el Δ queda en un solo semiplano respecto a AB. Pero si hay por los menos dos puntos más, aparte de A y B, ellos pueden estar en un mismo semiplano o en semiplanos opuestos, lo que no garantiza la convexidad [2]

Elementos y subconjuntos


Punto interior

Sea I un punto del plano, se traza por I una recta que corta a dos de los lados del polígono en los puntos M y N, si el punto I está entre M y N, al punto I, se llama punto interior del polígono y al conjunto de todos los puntos interiores se denomina interior del polígono. [3]

Frontera

La unión de todos los lados se nombra frontera del polígono.

Exterior

Un punto E del plano que no está en el interior de un polígono, tampoco en la frontera se llama punto exterior del polígono. El conjunto de todos los puntos exteriores se nombra exterior del polígono.

Proposición

la unión del interior, la frontera y el exterior de un polígono es igual al plano que los contiene. Además por ser dos a dos disjuntos son una partición del plano. De modo que un punto arbitrario del plano está en uno y solo uno de dichos subconjuntos: interior, frontera, exterior. [4]

Región poligonal

La unión del interior y de la frontera de un polígono se llama región poligonal

Propiedades de los polígonos convexos


Las siguientes propiedades de un polígono simple son equivalentes a la condición de convexidad:

Adicionalmente, todos los polígonos convexos cumplen las siguientes propiedades:

Referencias


  1. A. G. Tsipkin: Manual de matemáticas para la enseñanza media Editorial Mir Moscú (1985)
  2. Milton Donayre: Número y figura Editorial Lumbreras, Lima
  3. Milton Donayre: Número y figura Editorial Lumbreras, Lima
  4. Donayre. Op. cit.
  5. Esto es consecuencia de que todo polígono convexo admite una Triangulación en abanico en (n-2) triángulos.
  6. -, Christos. «Is the area of intersection of convex polygons always convex?» . Math Stack Exchange. 
  7. Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing» . Wolfram Math World. 
  8. Jim Belk. «What's the average width of a convex polygon?» . Math Stack Exchange. 
  9. Lassak, M. (1993). «Approximation of convex bodies by rectangles». Geometriae Dedicata 47: 111. doi:10.1007/BF01263495 . 

Enlaces externos











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