Plano (geometría)


En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.

Cuando se habla de un plano de polina, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel objeto elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño, ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento, a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente, el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. En coordenadas polares, por un ángulo y una distancia. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

El área es una medida de extensión de una superficie, o de una figura geométrica plana, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Índice

Propiedades del plano ℝ3


En un espacio euclidiano tridimensional3, podemos hallar los siguientes hechos (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores):

Ecuación vectorial del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)

\({\displaystyle (x,y,z)=(x_{1},y_{1},z_{1})+m(u_{x},u_{y},u_{z})+n(a_{2},b_{2},c_{2})\,\!}\)

donde \({\displaystyle m}\) y \({\displaystyle n}\) son escalares.

Esta es la forma vectorial del plano; sin embargo, la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

\({\displaystyle {\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )\\\mathbf {u} \\\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0=>{\begin{vmatrix}x-P_{x}&y-P_{y}&z-P_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}=0=>Ax+By+Cz+D=0}\)

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano y coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

\({\displaystyle a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0\,}\)
Estrictamente

P = P0 + mA + nB es la ecuación del plano determinado por un punto fijo y dos vectores A y B no colineales.[1]

Ecuación mediante vector ortogonal

a.x = 0, donde a es un vector ortogonal y x un punto del plano.

Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

Distancia de un punto a un plano

Para un plano cualquiera \({\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0\,}\) y un punto cualquiera \({\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}\) no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre P1 y el plano Π es:

\({\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}\)

De lo anterior se deduce que el punto P1 pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados, esto es cuando \({\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}\), entonces la fórmula anterior de la distancia D se reduce a:

\({\displaystyle D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}\)

Semiplano


Se llama semiplano, en geometría, cada una de las dos partes en que un plano queda dividido por una recta.

Analíticamente
La inecuación \({\displaystyle ax+by+c\geq 0}\) determina un semiplano y su recta frontera \({\displaystyle ax+by+c=0}\)
La inecuación \({\displaystyle ax+by+c>0}\) determina un semiplano sin incluir la frontera \({\displaystyle ax+by+c=0}\). Este semiplano es un conjunto convexo, abierto y no acotado.
Partición
La recta de ecuación \({\displaystyle L=ax+by+c=0}\)y los semiplanos \({\displaystyle S_{1}=ax+by+c<0}\), \({\displaystyle S_{2}=ax+by+c>0}\) determinan una partición del plano, de modo que un punto cualquiera de este está exactamente en uno, y solo uno de los tres conjuntos: recta L, semiplanos \({\displaystyle S_{1}}\) o \({\displaystyle S_{2}}\).[2]

Postulados de la división de un plano

En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano existen infinitos puntos tales que:

  1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta que los determina.
  2. Dos puntos del mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta r.
  3. Dos puntos de semiplanos diferentes determinan un segmento que corta a la recta 'r8.

Véase también


Referencias


  1. Hasser Análisis matemático tomo II
  2. A. S. Solodóvnikov Sistemas de desigualdades lineales Editorial Mir Moscú (1980)

Enlaces externos











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