Pirámide (geometría)


La pirámide es un poliedro, constituido por un polígono simple (llamado base) y triángulos que tienen un único lado que tiene que ver con uno del polígono base; todos los triángulos tienen un vértice común llamado cúspide. Los triángulos se llaman caras laterales. El lado común a dos caras laterales se llama arista, del mismo modo que cualquier lado de la base. El número total de las aristas es doble del número de lados de la base. Estrictamente, el poliedro tiene \({\displaystyle n+1}\) vértices poliedrales, donde \({\displaystyle n}\) es el número de vértices de la base.

Índice

Definición


Se llama pirámide a un cuerpo geométrico que es la unión de todos los segmentos que unen todos los puntos de un polígono S con un punto P exterior al plano del polígono.

Se considera que el polígono es una parte del plano y es un conjunto bidimensional.

Elementos

Tipos de pirámides


Una pirámide recta es un tipo de pirámide que une la proyección ortogonal del ápice sobre la base coincide con su centroide.

Una pirámide oblicua es una pirámide que no es recta. Si la base de una pirámide oblicua es un polígono regular, es posible que no todas sus caras laterales sean triángulos isósceles. Es decir, alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles

Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular. En este tipo de pirámides cada cara lateral es un triángulo isósceles igual a los demás, su altura se llama apotema de la pirámide.

Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.

Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.

Una pirámide tetraédrica o tetraedro, tiene como base un triángulo.

Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

Área


Área de un polígono regular

El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un polígono regular de n lados puede dividirse en n triángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es un apotema del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en 2n triángulos rectángulos.

El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (At):

\({\displaystyle A_{b}=2\ n\cdot A_{t}=2\ n\ {\frac {{\frac {l}{2}}\ a}{2}}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a}\)

Donde a es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del apotema se aplica la trigonometría.

Aparte: Calculemos la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular.:

\({\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {\frac {l}{2}}{a}}}\)

\({\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {l}{2\cdot a}}}\)

\({\displaystyle a={\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}}\)

Ahora reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular (Ab) tenemos:

\({\displaystyle A_{b}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a={\frac {n}{2}}\ l\cdot {\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot(\alpha )}\)

El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo () por el número de triángulos rectángulos (2n), luego \({\displaystyle \alpha =2\pi /2n=\pi /n}\).

(1)\({\displaystyle A_{b}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}\)

Área lateral de una pirámide

El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales por el número de caras laterales.

(2)\({\displaystyle A_{l}=n\cdot {\frac {l\cdot a_{p}}{2}}={\frac {p\cdot a_{p}}{2}}}\)

Donde ap es el apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base.

La apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir de la apotema de la base (ab) y de la altura de la pirámide (h) aplicando el teorema de Pitágoras.

\({\displaystyle a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}}\)

Área total de una pirámide

El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.

(3)\({\displaystyle A=A_{b}+A_{l}\,}\)

En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1 ) y el área lateral (2 ) en la ecuación (3 ), se obtiene:

\({\displaystyle A={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\frac {p\cdot a_{p}}{2}}}\)

Volumen


El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al vértice de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).

\({\displaystyle d=h-z\,}\)

Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es

\({\displaystyle A\left(z\right)=A_{b}\ {\frac {d^{2}}{h^{2}}}=A_{b}\ {\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}}\)

El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.

\({\displaystyle V=\int _{0}^{h}A\left(z\right)\ dz=A_{b}\int _{0}^{h}{\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}\ dz=-A_{b}{\frac {(h-z)^{3}}{3h^{2}}}{\bigg |}_{0}^{h}}\)

(4)\({\displaystyle V={\frac {\ A_{b}\ h}{3}}}\)

Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.

Volumen de una pirámide regular

El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab (1 ) en la ecuación del volumen de la pirámide (4 ) se obtiene:

\({\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {n}{4}}\cdot l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \ h}\)

\({\displaystyle V={\frac {n}{12}}\cdot l^{2}\cdot h\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}\)

Como un polígono regular es inscriptible, puede usarse el radio r de la circunferencia circunscrita, el ángulo α interior del polígono, la altura h y el número n de lados, y calcular, con dichos datos, el volumen sujeto a la siguiente fórmula:[2]

\({\displaystyle V={\frac {n}{6}}hr^{2}\operatorname {sen} 2\alpha }\)

Centroide, centro de masas y centro de gravedad


El centroide o baricentro de un tetraedro regular está situado en su altura. El punto donde se cortan las cuatro posibles alturas, se encuentra a una distancia de la base igual a: \({\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot h}\)

Coincide con el centro de masas de un tetraedro regular de densidad uniforme. También coincide con el centro de gravedad de un tetraedro regular de densidad uniforme y campo gravitacional uniforme.

El centro de gravedad de una pirámide de densidad y campo uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de su altura.[3]

Pirámide homotética de volumen la mitad


Dada una pirámide recta de altura h, la pirámide homotética cuyo volumen es la mitad tendrá una altura h':

\({\displaystyle h'=h\cdot {\sqrt[{3}]{1/2}}}\)
Demostración

El plano paralelo a la base, situado a dicha distancia de la cúspide, cortará a la pirámide en dos partes de igual volumen. Buscamos la razón de la homotecia: el coeficiente por el que tenemos que multiplicar los lados de la base y la altura, para obtener las dimensiones de la pirámide homotética cuyo volumen mide la mitad del total.

Si el volumen total de la pirámide es:
\({\displaystyle V={\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}}\)
La pirámide cuyo volumen es la mitad, tendrá:
\({\displaystyle V'={\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}}\)
siendo x la razón de la homotecia, el coeficiente de proporcionalidad.
Como
\({\displaystyle V'={\frac {1}{2}}\cdot V}\)
deducimos
\({\displaystyle {\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}}\)
simplificando
\({\displaystyle x^{3}\cdot a\cdot b\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot b\cdot h}\)
\({\displaystyle x^{3}={\frac {1}{2}}}\)
\({\displaystyle x={\sqrt[{3}]{1/2}}}\)
La razón de la homotecia es 0,79370053 aproximadamente.

Véase también


Referencias


  1. Londoño- Bedoya. Álgebra y/o geometría 4.ISBN 84-8276-412-8
  2. García, Jimmy y otros. Resumen teórico Matemáticas y Ciencias. Fondo editorial Rodó Lima (2014).
  3. Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), Mecánica para ingenieros, Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9.

Enlaces externos











Categorías: Prismatoides | Poliedros autoduales




A partir de: 05.06.2021 04:07:40 CEST

Fuente: Wikipedia (Autores [Historia])    Licencia: CC-BY-SA-3.0

Modificaciónes: Se eliminaron todas las imágenes y la mayoría de los elementos de diseño relacionados con ellos. Algunos iconos fueron reemplazados por FontAwesome-Icons. Algunas plantillas se eliminaron (como "el artículo necesita expansión) o se asignaron (como" notas de sombrero "). Las clases CSS fueron eliminadas o armonizadas.
Se eliminaron los enlaces específicos de Wikipedia que no conducen a un artículo o categoría (como "Enlaces rojos", "enlaces a la página de edición", "enlaces a portales"). Cada enlace externo tiene un FontAwesome-Icon adicional. Además de algunos pequeños cambios de diseño, se eliminaron los contenedores de medios, mapas, cuadros de navegación, versiones habladas y Geo-microformatos.

Tenga en cuenta: Debido a que el contenido dado se toma automáticamente de Wikipedia en el momento dado, una verificación manual fue y no es posible. Por lo tanto, LinkFang.org no garantiza la precisión y la actualidad del contenido adquirido. Si hay una información que es incorrecta en este momento o tiene una pantalla incorrecta, no dude en Contáctenos: e-mail.
Ver también: Información legal & Política de privacidad.