Pentágono


Pentágono

Un pentágono regular
Características
Tipo Polígono regular
Lados 5
Vértices 5
Grupo de simetría \({\displaystyle D_{5}}\), orden 2x5
Símbolo de Schläfli {5} (pentágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual Autodual
Área \({\displaystyle A={\frac {a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}}\)
(lado \({\displaystyle a}\))
Ángulo interior 108°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico

En geometría, se denomina pentágono (del griego πεντάγωνον, de πέντε pénte "cinco" y γωνία gōnía "ángulo") a un polígono de cinco lados y cinco vértices.

Índice

Definición


Un pentágono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes.

Proposiciones

Propiedades


Apotema

La apotema, \({\displaystyle a_{p}}\), de un pentágono regular de lado \({\displaystyle L}\) es[1]

\({\displaystyle a_{p}={\frac {L}{2}}\cdot {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}\)

Área

El área de un pentágono regular de lado \({\displaystyle L}\) es

\({\displaystyle A={\frac {5L^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {L^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1,72048L^{2}}\)

O, en función el radio de la circunferencia circunscrita, \({\displaystyle r}\),

\({\displaystyle A={\frac {5}{8}}\cdot r^{2}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\)

O bien,

\({\displaystyle A={\frac {5}{2}}\cdot r^{2}\cdot \sin {72^{\circ }}}\)

Y en función de la apotema, \({\displaystyle a_{p}}\)[1]

\({\displaystyle A=5a_{p}^{2}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}\)

Perímetro

El perímetro de un pentágono regular lado \({\displaystyle L}\) es

\({\displaystyle P=5\cdot L}\)

O bien, en función de la apotema (\({\displaystyle a_{p}}\)), [1]

\({\displaystyle P=10\cdot a_{p}\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}\)

Fórmula para calcular los ángulos interiores

La suma de los ángulos internos de un pentágono es de 540°.

La fórmula general para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono regular (en el caso del pentágono n = 5) es:

\({\displaystyle \sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }}\)

El ángulo comprendido entre dos lados de un pentágono regular se puede calcular mediante la siguiente fórmula (en el pentágono, n = 5):

\({\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }}\)

Movimientos


Construcción de un pentágono regular


Un pentágono regular es construible usando un compás y una regla, ya sea inscribiendo uno en un círculo dado o construyendo uno en un lado dado. Euclides describió este proceso en sus Elementos, alrededor del año 300 a. C.[3][4]

Se puede construir con regla y compás un pentágono regular, inscrito en una circunferencia (véase la figura), de la siguiente manera:

Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO. Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los vértices del pentágono regular.

Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.

Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.

Relaciones geométricas del pentágono regular


Relación con el número áureo

Veamos que la razón entre un segmento que una dos de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la razón aúrea o número áureo, por ejemplo que

\({\displaystyle CE=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)CD}\)

Por simetría, los segmentos CE y CA son iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que

\({\displaystyle {\frac {MC}{AN}}={\frac {FC}{AF}}}\)

Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es la mitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto

\({\displaystyle {\frac {CE}{CD}}={\frac {CD}{CE-CD}}={\frac {1}{CE/CD-1}}}\)

Sustituyendo CE/CD por \({\displaystyle \varphi }\) tenemos

\({\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\varphi -1}}\qquad \,(1)}\)

en otras palabras \({\displaystyle \varphi -1={\frac {1}{\varphi }}}\). Esta ecuación describe la razón dorada. \({\displaystyle \varphi }\) es el único número positivo que cuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso.

Algunas consideraciones sobre triángulos

Consideremos a un pentágono (regular) y la circunferencia circunscrita a dicho pentágono. Tracemos la perpendicular por el centro de la circunferencia al lado DA del pentágono y sea M la intersección de esta perpendicular con la circunferencia el ángulo AOB mide 360°/5=72° y el ángulo AOM es su mitad, es decir 36°. El ángulo MOB, suma de estos dos vale 108° y como el triángulo AOB es isósceles tenemos que

  1. La razón entre el segmento MB y el radio OM de la circunferencia es la razón dorada
  2. \({\displaystyle \angle BMO=(180^{\circ }-108^{\circ })/2=72^{\circ }/2=36^{\circ }}\)

Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio OM y el segmento PM es la razón dorada. Finalmente, el triángulo OBP también es isósceles, con lo que PB = OB ( =OM). Tenemos :\({\displaystyle {\frac {PM}{OM}}={\frac {1}{\varphi }}={\frac {MB-PB}{OM}}=\varphi -1}\)

Lo anterior se puede interpretar como una demostración geométrica de la ecuación (1).

Véase también


Referencias


  1. a b c Sapiña, R. «Calculadora del área y perímetro del pentágono regular» . Problemas y ecuaciones . ISSN 2659-9899 . Consultado el 19 de junio de 2020. 
  2. Tema análogo en Álgebra moderna de Birkhoff y Mac Lane.
  3. George Edward Martin (1998). Springer, ed. Construcciones geométricas (en inglés). p. 6. ISBN 0-387-98276-0. 
  4. Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (Richard Fitzpatrick, trad.) (en inglés). 2008. p. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1. 

Enlaces externos











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