Hexágono


Hexágono

Un hexágono regular
Características
Tipo Polígono regular
Lados 6
Vértices 6
Grupo de simetría \({\displaystyle D_{6}}\), orden 2x6
Símbolo de Schläfli {6}, t{3} (hexágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual Autodual
Área \({\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}}\)
(radio \({\displaystyle R}\))
Ángulo interior 120°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico

En geometría plana elemental, un hexágono[1][2]​ o exágono (esta última versión sin "h" está en desuso, ya no está recogida en el DRAE) es un polígono de seis lados y seis vértices. Su nombre deriva del griego ἑξάγωνον (de ἕξ, "seis" y γωνία, "ángulo").

Índice

Propiedades


Un hexágono tiene:

Parhexágono


Siguiendo el hilo de un paralelogramo, un parhexágono o parexágono es aquel hexágono particular, en el que un lado es igual y paralelo a un lado opuesto, pero cada par de estos lados es de diferente tamaño.[3]

Proposición

Sea ABCDEF un hexágono irregular cualquiera, se unen A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Se forman los seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada uno de ellos se localiza su baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Se unen sucesivamente dichos puntos, el hexágono A'B'C'D'E'F' es un parhexágono.[4]

Hexágono regular


El hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales, siempre dividido en triángulos simétricos o asimétricos.

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:

\({\displaystyle a=r_{u}}\), la longitud de un lado es igual al radio del círculo circunscrito.
\({\displaystyle r_{i}=\cos(30^{\circ })r_{u}}\) , de esta forma se relacionan los radios de las circunferencias, entonces:
\({\displaystyle r_{i}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r_{u}}\) y podemos concluir que
\({\displaystyle a=r_{i}={\frac {r_{u}}{2}}{\sqrt {3}}}\)
Para una Hexágono regular de círculo circunscrito y longitud de lado \({\displaystyle r_{u}=a=1}\) , el radio de la inscrita sería aproximadamente \({\displaystyle r_{i}\approx 0.866}\)

Perímetro

Su perímetro es seis veces la longitud de su lado.

\({\displaystyle P=n\cdot l_{n}=6\ l_{6}}\), donde n es el número de lados y \({\displaystyle l_{n}}\), la longitud del lado.

El perímetro en función de la apotema (\({\displaystyle a_{p}}\)) es [8]

\({\displaystyle P=4\cdot a_{p}\cdot {\sqrt {3}}}\)

Y en función del radio del círculo circunscrito (\({\displaystyle r_{u}}\)) es [8]

\({\displaystyle P=6\cdot r_{u}}\)

Área

Área del hexágono regular

Si se conoce la longitud del apotema a6 del polígono, una alternativa para calcular el área es:

\({\displaystyle A={\frac {P\cdot a_{p}}{2}}={\frac {6l_{6}\cdot a_{p}}{2}}=3l_{6}\cdot a_{p}}\)

o

\({\displaystyle A=2{\sqrt {3}}\cdot a_{p}^{2}}\)

Si solo conocemos el lado l6 podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

\({\displaystyle A=l_{6}^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}}\), que equivale a las áreas de seis triángulos equiláteros que se obtienen al unir el centro con los seis vértices.

Construcción geométrica

Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una regla y compás:

  1. Dado un punto O cualquiera, trazar una circunferencia cuyo radio sea igual al lado del hexágono a construir;
  2. Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un diámetro que cruce O y A. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como D;
  3. Apoyando el compás en el punto A, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como B y F;
  4. Apoyando el compás en el punto D, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como C y E

Galería de hexágonos naturales y artificiales



Véase también


Referencias


  1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2005). «hexágono» . Diccionario panhispánico de dudas. Madrid: Santillana. ISBN 978-8-429-40623-8. 
  2. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «hexágono» . Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7. 
  3. Kasner- Newman. Matemáticas e maginación. Librería Hachete s.A., Buenos Aires (1944)
  4. Kasner-Newman. Op. cit.
  5. César A. Trejo. Variable compleja
  6. Edgar de Alencar Filho. Exercícios de geometría plana
  7. Pogorélov. Op. cit.
  8. a b Sapiña, R. «Calculadora del área y perímetro del hexágono regular» . Problemas y ecuaciones . ISSN 2659-9899 . Consultado el 20 de junio de 2020. 

Enlaces externos











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