Elipsoide


Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos cada plano.

En matemática, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.

Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.

Al rotar una elipse alrededor de uno de sus dos ejes se obtiene un elipsoide de revolución o esferoide.

Índice

Ecuación cartesiana de un elipsoide


La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

\({\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}\)

donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y, z, respectivamente; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

Superficie


La superficie de un elipsoide está dada por la siguiente fórmula:

\({\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\alpha ,m)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\alpha ,m)\right),\,\!}\)

donde

\({\displaystyle \alpha ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {c}{a}}\right)\;{\textrm {achatado}}\;o\;{\textrm {escaleno}}\\\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\;{\textrm {alargado}}\end{cases}},\!}\)

es su excentricidad angular, \({\displaystyle m={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}(\alpha )}}\,\!}\), y \({\displaystyle F(\alpha ,m)\,\!}\), \({\displaystyle E(\alpha ,m)\,\!}\) son las integrales elípticas de primera y segunda especie.

Una ecuación aproximada de su superficie es:

\({\displaystyle S\;\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}\,\!}\)

donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c. El valor p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides cuasi esféricos, con un error relativo máximo de 1,178%.[1]

Volumen


El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

\({\displaystyle V=\;{\frac {4\pi }{3}}abc\,\!}\)

Utilizando Geometría diferencial se puede demostrar la expresión anterior. Se sabe que el volumen de una región cerrada Ω corresponde a la integral triple de la función f(x,y,z) = 1 y que si se realiza algún cambio de coordenadas ( por ejemplo esféricas) se ha de multiplicar por el Jacobiano del Cambio de Variable y adaptar los límites de integración.

\({\displaystyle V_{\Omega }=\iiint _{\Omega }dV=\iiint _{\Omega }\left|J\Psi (\rho ,\theta ,\varphi )\right|d\rho d\theta d\varphi ,\!}\)

En este caso el cambio de variable es de tipo pseudoesférico, mucho más general que el de la esfera (por un motivo lógico, un elipsoide con todos sus parámetros a,b,c iguales genera una esfera, es decir, que la esfera es un elipsoide particular con un alto grado de simetría). También se han definido los límites de integración.

\({\displaystyle \Psi (\rho ,\theta ,\varphi )={\begin{cases}&x=a\rho \sin \theta \cos \varphi \ {:\rho \in \left[0,1\right]}\\&y=b\rho \sin \theta \sin \varphi \ {:\theta \in \left[0,\pi \right]}\\&z=c\rho \cos \theta \ {:\varphi \in \left[0,2\pi \right]}\end{cases}},\!}\)

Para calcular el Jacobiano habría que calcularse la matriz en derivadas parciales respecto de \({\displaystyle \rho ,\theta ,\phi }\) y el determinante de esta matriz cuadrada tres por tres da como resultado:

\({\displaystyle \left|J\Psi (\rho ,\theta ,\varphi )\right|=abc\cdot \rho ^{2}\sin \theta ,\!}\)

Por lo tanto, la integral que hay que resolver, teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, es:

\({\displaystyle abc\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{1}\rho ^{2}\sin \theta \ d\rho d\theta d\varphi ,\!}\)

Operando:

\({\displaystyle abc\int _{0}^{1}\rho ^{2}d\rho \int _{0}^{\pi }\sin \theta \ d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi =abc\cdot \left[{\frac {r^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}\cdot \left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }\cdot \left[\varphi \right]_{0}^{2\pi }=abc\cdot {\frac {1}{3}}\cdot 2\cdot 2\pi ={\frac {4}{3}}\pi abc\ \!}\)

(Q,E,D)

Una demostración alterna se puede hacer con sumas de Riemann. Esta consiste en sumar a lo largo del eje X las áreas de la secciones transversales. Como la sección transversal de un elipsoide es una elipse, su área está dada por \({\displaystyle A_{x}=\pi \ z(x)\ y(x)\!}\) por lo que el volumen del elipsoide estaría dado por:

\({\displaystyle 2\pi \int _{0}^{a}z(x)y(x)dx}\)

Nuevamente como las secciones transversales son elipses se tiene:

\({\displaystyle z=c{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}}\)
\({\displaystyle y=b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}}\)

Reemplazando:

\({\displaystyle 2\pi \int _{0}^{a}bc\left(1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right)dx={\frac {4}{3}}\pi a\ b\ c\!}\)

Otra forma de calcular el volumen mediante la suma de las áreas de la secciones transversales a lo largo del eje X, sin recurrir a la fórmula del área de la elipse, es expresar el área de dichas secciones como la integral \({\displaystyle \int z\cdot dy}\) entre los límites de la elipse \({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\ =\ 1}\).

Entonces se obtiene la integral doble :

\({\displaystyle V=2\int _{-a}^{a}[\int _{-{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}^{{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}c\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}\ dy\ ]\ dx}\).

Esta integral doble puede simplificarse a

\({\displaystyle 8c\int _{0}^{a}[\int _{0}^{{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}\ dy\ ]\ dx}\) .

La integral interior (entre corchetes), que representa el área de cada sección transversal \({\displaystyle \int _{0}^{{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}\ dy}\) se resuelve sin gran dificultad como \({\displaystyle {\frac {b\pi }{4a^{2}}}\cdot (a^{2}-x^{2})}\)

Cuya integral entre \({\displaystyle [0,a]}\) es igual a \({\displaystyle {\frac {b\pi }{4a^{2}}}\cdot {\frac {2}{3}}a^{3}}\); e incluyendo y agrupando todos los términos se obtiene la fórmula del volumen:

\({\displaystyle V={\frac {4}{3}}\ \pi \ a\ b\ c\!}\)

Otras características


La intersección de un elipsoide con un plano suele ser una elipse. También puede ser una circunferencia.

Se puede definir un elipsoide en espacios de más de tres dimensiones.

Véase también


Referencias


  1. Surface Area of an Ellipsoid , fórmulas de Knud Thomsen y David W. Cantrell.

Enlaces externos











Categorías: Figuras geométricas | Superficies | Cuádricas




A partir de: 02.12.2020 06:50:47 CET

Fuente: Wikipedia (Autores [Historia])    Licencia: CC-by-sa-3.0

Modificaciónes: Se eliminaron todas las imágenes y la mayoría de los elementos de diseño relacionados con ellos. Algunos iconos fueron reemplazados por FontAwesome-Icons. Algunas plantillas se eliminaron (como "el artículo necesita expansión) o se asignaron (como" notas de sombrero "). Las clases CSS fueron eliminadas o armonizadas.
Se eliminaron los enlaces específicos de Wikipedia que no conducen a un artículo o categoría (como "Enlaces rojos", "enlaces a la página de edición", "enlaces a portales"). Cada enlace externo tiene un FontAwesome-Icon adicional. Además de algunos pequeños cambios de diseño, se eliminaron los contenedores de medios, mapas, cuadros de navegación, versiones habladas y Geo-microformatos.

Tenga en cuenta: Debido a que el contenido dado se toma automáticamente de Wikipedia en el momento dado, una verificación manual fue y no es posible. Por lo tanto, LinkFang.org no garantiza la precisión y la actualidad del contenido adquirido. Si hay una información que es incorrecta en este momento o tiene una pantalla incorrecta, no dude en Contáctenos: e-mail.
Ver también: Información legal & Política de privacidad.